[MHN 과학] 양자역학의 방정식을 찾아서 with 고양이, 1933 노벨 물리학상: 양자역학 방정식

에르빈 슈뢰딩거, 물질파 이론의 관계식을 통해 '슈뢰딩거 방정식' 유도
폴 디랙, 상대성 이론 적용한 '디랙 방정식' 유도

[문화뉴스 MHN 권성준기자] 양자역학은 물리학자들이 생각하는 역사상 가장 위대한 물리학 이론으로 손꼽힌다. 그리고 양자역학은 종종 언론이나 미디어에서 마치 이해할 수 없는 무언가처럼 언급된다. 실제로 유명한 물리학자 리처드 파인만(Richard Feynman, 1918~1988)은 "누구도 양자역학을 이해하지 못한다."라고 말한 적이 있다.

이해하기는 어렵지만 뉴턴이 F=ma를 통해 고전역학의 방정식들을 계산하였듯이 양자역학 또한 어떤 방정식을 통해 다른 여러 계산을 할 수 있다. 그렇지 않다면 양자역학은 과학의 한 분류가 되지 못하였을 것이다.

양자역학의 방정식을 만드는 시도는 1920년대로 거슬러 올라가게 된다. 고전역학에는 고전역학을 기술하는 3가지 방법이 있는데 뉴턴 역학, 라그랑주 역학, 해밀턴 역학이 있다. 이 세 가지 방법은 결과는 완벽하게 같으나 계산을 시작하는 방정식과 관점이 조금씩 다르다. 1920년대 이루어진 시도는 이 세 가지 방법에 양자이론을 적용시켜 양자역학의 방정식을 만드는 것이었다.

맨 처음 이 시도에 성공한 물리학자는 베르너 하이젠베르크(Werner Heisenberg, 1901~1976)였다. 그는 뉴턴 역학에서 출발하여 행렬을 통해 양자역학을 기술하는 행렬역학을 만들었다. 그러나 하이젠베르크는 자신이 만들어낸 기술이 행렬인 줄 몰랐고 계산하기도 힘들었다.

뒤이어 물리학자 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger, 1887~1961)은 물질파 가설과 해밀턴 역학을 통해 시도에 성공하였고 이때 나온 방정식이 그 유명한 '슈뢰딩거 방정식'이다.

물질파 이론에 의하면 모든 입자는 파동의 성질을 가지게 되는데 '슈뢰딩거 방정식'은 입자를 어떤 파동으로 보고 물질파 가설의 관계식에 끼워 맞춰 유도해낸 공식이다. 즉 입자의 파동성을 기술하는 방정식이다.

그래서 '슈뢰딩거 방정식'의 해는 파동함수라고 불리는데 문제는 파동함수의 진폭이 복소수의 형태를 띠고 있다는 점이었다.

실제로 슈뢰딩거는 자신이 파동함수를 만들고도 파동함수가 무엇을 의미하는지 몰랐으며 그저 파동함수를 통해 양자역학을 계산할 수 있다는 것만 알고 있었다.

이후 막스 보른(Max Born, 1882~1970)에 의해 파동함수는 입자의 존재 확률을 나타내는 확률 진폭이라는 해석으로 이해가 되었으나 정작 슈뢰딩거는 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein, 1879~1955)과 함께 이 주장에 대해 적극적으로 반대했다.

그는 코펜하겐 해석을 반박하기 위해 그 유명한 '슈뢰딩거의 고양이'라는 사고실험을 제안하였다.

'슈뢰딩거의 고양이'란 어떤 상자 안에 50% 확률로 핵분열을 하는 물질과 고양이를 넣어두고 만약 물질이 붕괴한다면 방사선이 방출되고 상자에 달린 가이거 계수기가 반응을 해서 상자에 청산가리가 퍼져 고양이를 죽이는 사고실험이다.

슈뢰딩거는 이때 고양이의 상태가 죽은 상태와 생존한 상태가 중첩되어 있다가 관측을 통해 한 가지 상태로 결정되는 것이냐며 양자역학을 비난하였다. 하지만 아이러니하게도 오늘날에는 이러한 해석이 맞아 오히려 양자역학을 상징하는 사고실험이 되어버렸다.

'슈뢰딩거 방정식'은 양자역학에서 수소 원자 모형, 조화 진동자, 자유 입자 등을 계산하는데 쓰이며 물질의 스핀도 유도할 수 있는 다시 말해 양자역학을 모두 기술할 수 있는 기본 방정식이다.

하지만 이런 '슈뢰딩거 방정식'에는 문제가 있다. 바로 '슈뢰딩거 방정식'은 고전역학에서 출발하였기 때문에 속도가 아주 빠른 상태를 기술할 수 있는 상대성 이론을 포함시키지 못한다는 점이었다.

이후 슈뢰딩거가 '슈뢰딩거 방정식'을 유도하였을 때와 유사한 방법으로 상대성 이론의 에너지 공식을 통해 양자역학을 기술한 물리학자가 있었다. 그는 폴 디랙(Paul Dirac, 1902~1984)이었다. 그는 이 업적을 통해 1933년 '슈뢰딩거 방정식'을 유도한 슈뢰딩거와 함께 노벨 물리학상을 수상하게 된다.

디랙이 유도한 상대론을 적용한 양자역학을 기술하는 방정식은 '디랙 방정식'이라 부른다.

사실 '디랙 방정식'이 등장하기 전에 '디랙 방정식'과 아주 유사한 방법으로 유도되는 '클라인-고든스 방정식'이 있었으며 슈뢰딩거도 '슈뢰딩거 방정식'을 발표하기 전에 '클라인-고든스 방정식'에 도달했었다. 그러나 이 방정식은 입자의 스핀이 고려되지 않아 실제 수소 원자를 기술할 수 없었다.

디랙은 '클라인-고든스 방정식'에서 나타나는 비선형성을 제거하기 위해 행렬을 통해 '디랙 방정식'을 이끌어 내었는데 이 행렬이 스핀도 포함하여 기술하는 형태의 방정식을 만들게 해주었다.

디랙이 '디랙 방정식'을 풀었을 때 양의 부호를 갖는 에너지 해와 음의 부호를 갖는 에너지 해가 나온다. 그래서 디랙은 음의 부호를 갖는 해를 입자의 전하량의 부호를 바꿔 설명하였고 이를 '반입자'라고 부른다.